Complete decomposition of Dickson-type recursive polynomials and a related Diophantine equation

We characterize decomposition over C of polynomials fn(x) defined by the generalized Dicksontype recursive relation f0(x) = B, f1(x) = x, fn+1(x) = xfn(x)− afn−1(x) (n ≥ 1), where B, a ∈ Q or R. This parametric class of polynomials includes Fibonacci, Pell, Fermat, Dickson, Lucas (w-), Pell-Lucas, Fermat-Lucas polynomials as well as Chebyshev polynomials of the first and second kind. As an application of the decomposition result, we show that the Diophantine equation f (a,B) n (x) = f (â,B̂) m (y) with f (a,B) n , f (â,B̂) m ∈ Q[x] and min(m, n) ≥ 3 has only finitely many rational solutions (x, y) with a bounded denominator, except in a few explicitly stated exceptions. This vastly extends work of A. Dujella/R. F. Tichy (Diophantine equations for second order recursive sequences of polynomials, Quart. J. Math. 52 (2001), 161–169) and A. Dujella/I. Gusić (Decomposition of a recursive family of polynomials, Monatsh. Math., to appear). In particular, a complete answer to a question posed by the latter authors is presented. Résumé. Nous caractérisons la décomposition sur C de polynômes fn(x) définis par la relation de récurrence de type Dickson généralisée : f0(x) = B, f1(x) = x, fn+1(x) = xfn(x)− afn−1(x) (n ≥ 1), où B, a ∈ Q ou R. Cette classe de polynômes paramétriques inclut les polynômes de Fibonacci, Pell, Fermat, Dickson, Lucas (w-), Pell-Lucas, Fermat-Lucas ainsi que les polynômes de Tchebychev de première et deuxième espèces. Une application de notre résultat permet de montrer que l’équation diophantienne f (a,B) n (x) = f (â,B̂) m (y) avec f (a,B) n , f (â,B̂) m ∈ Q[x] et min(m, n) ≥ 3 n’admet qu’un nombre fini de solutions rationnelles (x, y) avec dénominateur borné, à quelques exceptions près que nous donnons explicitement. Ceci prolonge les travaux de A. Dujella et R. F. Tichy (Diophantine equations for second order recursive sequences of polynomials, Quart. J. Math. 52 (2001), 161–169) et de A. Dujella/I. Gusić (Decomposition of a recursive family of polynomials, Monatsh. Math., à parâıtre). En particulier, nous répondons entièrement à la question posée par les deux derniers auteurs sus-cités.